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Text File  |  1992-05-06  |  11KB  |  260 lines
  1. ================================================================================
  2.  
  3.     Airfoil generator utilizing the Joukowski transformation
  4.  
  5.     Written by:  Russell Leighton
  6.              762 1/2 W. Newgrove
  7.                  Lancaster, CA  93534
  8.                  22 March 1987
  9.  
  10. ================================================================================
  11.  
  12.     The following paper is a condensed version of the paper I
  13.     originally wrote describing the Joukowski tranformation.  It was
  14.     submitted to the Aeronautical and Mechanical Engineering
  15.     Department, School of Engineering and Technology of the
  16.     California Polytechnic State University in San Luis Obispo, CA
  17.     June 1984.
  18.  
  19. ================================================================================
  20.  
  21.     A Computational Flow Visualization Technique Utilizing the
  22.     Joukowski Transformation
  23.  
  24.     Written by:  Russell A. Leighton
  25.  
  26.     LIST OF SYMBOLS:
  27.  
  28.         u - Real component in w-plane
  29.         v - Imaginary component in w-plane
  30.         w - Complex resultant plane
  31.         x - Real component in z-plane
  32.         y - Imaginary component in z-plane
  33.         z - Complex source plane
  34.         i - Imaginary unit (square root of -1)
  35.  
  36.     INTRODUCTION:
  37.  
  38.     Conformal mapping is a very useful mathematical tool and has 
  39.     applications in the engineering field.  One particular application
  40.     utilizes conformal mapping to simplify the visualization of fluid
  41.     flow about airfoil sections.  By simplfing the mathematics this
  42.     technique allows for faster computation and therefore could be used
  43.     for real time computational flow visualization.  The potential uses
  44.     for a computational flow visualization technique range from an 
  45.     educational tool, illustrating the behavior of fluid flow about
  46.     airfoils, to an advanced modeling tool.  Since the actual flow is
  47.     computed about a simple shape, the circle, development of the flow
  48.     visualization equations is straight forward.
  49.  
  50.     The following sections will discuss the development of the mapping
  51.     equations, the streamline and pressure distribution equations, and
  52.     reverse mapping equations necessary for the calculation of the
  53.     circle parameters given airfoil data.
  54.  
  55.  
  56.     DISCUSSION:
  57.  
  58.     Conformal Mapping
  59.     -----------------
  60.  
  61.     Conformal mapping is a mathematical tool that can be used to
  62.     visualize the nature of complex functions.  A definition of 
  63.     conformal mapping can be understood by picturing two distinct
  64.     planes, the source plane (z-plane) and the resultant plane 
  65.     (w-plane).  Given a domain D of the z-plane and a complex function,
  66.     w = f(z) relating the z-plane to the w-plane, for each point in
  67.     domain D there exists a corresponding point in the w-plane.  If the
  68.     function, f(z) is an analytic function then the mapping given by
  69.     f(z) is said to be conformal, or angle-preserving, except at points
  70.     where the derivative, f'(z) is zero.
  71.  
  72.     The general form of the complex function relating the z-plane to
  73.     the w-plane is:
  74.  
  75.     (1)        w = f(z) = u(x,y) + (i)v(x,y)
  76.  
  77.             where:  z = x + (i)y
  78.  
  79.     The point wo = f(zo) corresponding to a point zo is called the
  80.     "image" of the point zo with respect to the mapping defined by
  81.     f(z).  A set of points representing a function in the z-plane will
  82.     have a corresponding set of points, or "image" in the w-plane.
  83.     Points located in the z-plane, such that the derivative of the 
  84.     mapping function goes to zero, are called critical points.  At 
  85.     these points the mapping is said to be non-conformal (i.e. the 
  86.     angles are not preserved).  As will be shown, these points are 
  87.     important for the following mapping.
  88.  
  89.     The Joukowski Transformation
  90.     ----------------------------
  91.  
  92.     The following mapping function is important in the field of
  93.     aerodynamics because of the nature of its' transformation.  With
  94.     this mapping function if a circle is plotted in the z-plane, such
  95.     that its' center is near the origin and it passes through one
  96.     critical point, it will be transformed into an airfoil shape. The
  97.     form of this function is:
  98.  
  99.     (2)        w = z + 1/z
  100.  
  101.     Its' derivative is:
  102.  
  103.     (3)        w' = 1 - 1/z = (z + 1)(z - 1)/z
  104.  
  105.     Therefore, the mapping will be conformal except at points z = 1
  106.     and z = -1, where w' goes to zero.  If plotted it would be evident
  107.     that passing through one of these points will produce a sharp edge 
  108.     resembling the trailing edge of an airfoil.  If the geometry of a 
  109.     circle is such that one of the critical points is intersected
  110.     while the other is bypassed, an airfoil shape will result from the
  111.     transformation.  This transformation is commonly known as the 
  112.     Joukowski transformation which was named for the Russian 
  113.     mathematician, Nikolai Jegorovich Joukowski for his initial use
  114.     of this mapping function.
  115.  
  116.     Computer Implementation
  117.     -----------------------
  118.  
  119.     The derivation of the equations suitable for computer implementation
  120.     is as follows.  Given the complex function:
  121.  
  122.     (4)        w = u + (i)v = z + 1/z
  123.  
  124.     where u is the horizontal component in the w-plane and v is the
  125.     vertical component.  If
  126.  
  127.     (5)        z = x + (i)y
  128.  
  129.     then
  130.  
  131.     (6)        1/z = [1/(x + (i)y)][(x - (i)y)/(x - (i)y)]
  132.  
  133.     Separate the real and imaginary parts to obtain
  134.  
  135.     (7)        1/z = (x/s) - (i)(y/s)
  136.  
  137.             where:  s = x^2 + y^2
  138.  
  139.     therefore, from equation (4)
  140.  
  141.     (8)        u = x + x/s
  142.  
  143.     (9)        v = y - y/s
  144.  
  145.             where:  s = x^2 + y^2
  146.  
  147.     These equations define the mapping process and can be easily
  148.     implemented into computer software (see C source listing).
  149.  
  150.     To define the circle in the z-plane the radius and the location
  151.     of its' center are necessary.  Since the circle must pass through
  152.     one of the two critical points and bypass the other it is
  153.     necessary that the radius be greater than one.  This is actually
  154.     more information than is required to define the circle.  For
  155.     example, one component of the circle center location could be
  156.     calculated from the other component, the radius, and the known
  157.     critical point (e.g. -1,0).  Likewise, any of the other parameters
  158.     may be calculated if the remaining parameters are known.
  159.  
  160.     The Inverse Mapping
  161.     -------------------
  162.  
  163.     It has been shown that airfoil shapes may be easily obtained from
  164.     the Joukowski transformation of the relativily simple shape, the 
  165.     circle.  However, it is not convenient to define these airfoil
  166.     shapes in terms of their corresponding circle parameters (the radius
  167.     and center location).  To determine the necessary circle parameters,
  168.     an inverse mapping (or a mapping from the w-plane to the z-plane)
  169.     may be performed.
  170.  
  171.     Two airfoil parameters, the camber and thickness, are useful for
  172.     defining the airfoil.  A very simple inverse mapping, requiring
  173.     only three points to be mapped, can be found by specifing the 
  174.     camber and thickness at the mid-chord location.  The derivation
  175.     of this inverse mapping is rather involved, therefore, it is
  176.     left to the reader to determine, if so interested (or just take a
  177.     look at the C source listing and try to figure it out).
  178.  
  179.     Flow About Cylinders and Airfoils
  180.     ---------------------------------
  181.  
  182.     The usefulness of the Joukowski transformation is derived mostly
  183.     from the fact that a circle is a much simpler shape than the 
  184.     airfoil section.  This property of this particular mapping can be
  185.     further exploited by recognizing that not only is the airfoil
  186.     exactly represented by the circle (or a unit depth cylinder), but
  187.     the region about the airfoil is also represented by the region
  188.     surrounding the cylinder.  This means that any curves plotted about
  189.     the cylinder, in the z-plane, have corresponding curves located 
  190.     about the airfoil, in the w-plane.  Specifically, streamline and
  191.     pressure distribution plots may be computed for the cylinder and
  192.     then mapped onto the w-plane in order to obtain the corresponding
  193.     streamline and pressure distribution plots about the airfoil.
  194.     Again the equations for the streamline and pressure distribution
  195.     plots can be derived by the reader if so interested (the theory
  196.     can be found in most aeronautical engineering references).
  197.  
  198.     Angle of Attack and Rotation Tranformation
  199.     ------------------------------------------
  200.  
  201.     The angle of attack may be included in the equations describing
  202.     the flow about the cylinder.  It is interesting to note that any
  203.     changes in angle of attack will not result in any change in the
  204.     flow about the cylinder except that the angle at which the flow
  205.     enters the region about the cylinder should be equal to the 
  206.     negative value of the angle of attack.  A simple rotation 
  207.     transformation would bring the flow direction back to the 
  208.     horizontal, resulting in no apparent change from a zero angle of
  209.     attack.  It should be noted, however, that the local coordinate
  210.     axis is no longer coincident with the global coordinate axis.
  211.     Because of this difference the Joukowski transformation will 
  212.     result in an airfoil at an angle of attack with the flow direction
  213.     coming into and leaving the region of the airfoil, parallel to 
  214.     the horizontal global coordinate axis.
  215.  
  216.     The same is also true for the pressure distribution.  At any given
  217.     angle of attack, the pressure distribution will remain the same
  218.     for the cylinder.  However, once transformed to the w-plane, the 
  219.     resulting pressure distribution will be about an airfoil at the
  220.     given angle of attack.
  221.  
  222.  
  223.     Possible Additions to the Model
  224.     -------------------------------
  225.  
  226.     The equations for the streamline plot and the pressure distribution
  227.     are easily derived for flow about a simple cylinder.  The equations,
  228.     or model used in the program assume invisid, irrotational flow and
  229.     were therefore the simplest to derive.  A possible addition to this
  230.     model would be to incorporate boundary layer effects into the 
  231.     equations describing the flow about the cylinder.
  232.  
  233.     Another addition, that is important if precise airfoil geometry is
  234.     required, is the incorporation of a complete inverse mapping 
  235.     capability.  A complete inverse mapping would allow for a point by
  236.     point description of the airfoil as input to the model.  This
  237.     airfoil geometry would, in turn, be mapped from the w-plane onto 
  238.     the z-plane resulting in an approximate cylindrical shape.  The flow
  239.     model may then be developed for this approximate cylinder and the
  240.     corresponding flow model, describing the flow about the airfoil,
  241.     may then be obtained by the forward mapping process.  Although
  242.     complex this addition would increase the accuracy of this modeling
  243.     technique giving results suitable for comparison to experimental
  244.     results.
  245.  
  246.     CONCLUSION:
  247.  
  248.     By simplifing the modeling process, conformal mapping and in
  249.     particular, the Joukowski transformation, offers a simple and
  250.     fast method for computational flow visualization of fluid flow
  251.     about arbitrary airfoil sections.  The equations necessary for the
  252.     mapping process are readily incorporated into a computer program
  253.     which aids in the production of a graphical output of the
  254.     transformation.
  255.  
  256.     The potential use of the Joukowski transformation is only limited
  257.     by the fluid model developed to describe the flow about the 
  258.     cylinder.  Since the modeling process is simplified, complex
  259.     fluid models can be more easily incorporated.
  260.